谈谈JAVA时间复杂度 – 去当CTO
时间复杂度的概念
时间复杂度 某个算法的时间耗费，关于问题规模n的函数。是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项，忽略系数。 渐近时间复杂度 当问题规模取向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。是评价一个算法性能的只要标准 区分 通常将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))称为时间复杂度，f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。 这里的”O”是数学符号，它的严格定义是”若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。”用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。
时间复杂度的求值
算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与实例中各元素的取值有关。总考虑最坏时间复杂度。 例子
for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n 次，当然是O(n^2) for(j=1;j<=n;j++) s++; for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+…+1)≈(n^2)/2 ，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2) for(j=i;j<=n;j++) s++; for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+…+n)≈(n^2)/2 ,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++) s++; i=1;k=0; while(i<=n-1){ for(j=1;j<=i;j++) for(k=1;k<=j;k++) x=x+1; 另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的 ，因为对数换底公式： log(a,b)=log(c,b)/log(c,a) 所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的 //循环了(1^2+2^2+3^2+…+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3 ，不考虑系数，自然是O(n^3) k+=10*i; i++; } for(i=1;i<=n;i++) //循环了 n-1≈n次，所以是O(n) 设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn 请判断下列关系是否成立： （1） f(n)=O(g(n)) （2） g(n)=O(f(n)) （3） h(n)=O(n^1.5) （4） h(n)=O(nlgn) 解答： （1）成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 （2）成立。与上同理。 （3）成立。与上同理。 （4）不成立。由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。 设n为正整数，利用大”O”记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。 (1) i=1; k=0 while(i { k=k+10*i;i++; } 解答：T(n)=n-1， T(n)=O(n)， 这个函数是按线性阶递增的。 (2) x=n; n>1 while (x>=(y+1)*(y+1)) y++; 解答：T(n)=n1/2 ，T(n)=O(n1/2)， 最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。 (3) x=91; y=100; while(y>0) if(x>100) {x=x-10;y–;} else x++; 解答： T(n)=O(1)， 这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n没有? 没。这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。
经验
有如下复杂度关系： c（O(1)） < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n! 常数阶O(1), 对数阶O(log2n), 线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n), 平方阶O(n^2)， 立方阶O(n^3),…， k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n)，阶乘(O(n!)) 。 其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2^n , 3^n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。 Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1) 。Ο(log2n)、Ο(n)、Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普遍认为前者是有效算法，把这类问题称为P类问题，而把后者称为NP问题。 访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。 求解步骤
找出算法中的基本语句，即执行次数最多的那个，通常是最内层循环的循环体。若算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。 计算基本语句的执行次数的数量级，即基本语句的最高次幂，忽略系数。 用O表示算法的时间性能，将基本语句执行次数的数量级放入大O记号中。
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